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如题描述
1 2 3
4 5 6
7 8 9
计算表格从左上角到右下角的最大和，每次只能向左或者向右走。
接到题目脑海里第一个想法就是dfs，现在感觉dfs有点low了，不过dfs是解决办法的一种，但是还是那句话，具体问题具体分析，对于这个问题还是dp效率比较高
动规解题的一般思路
将原问题分解为子问题
把原问题分解为若干个子问题，子问题和原问题形式相同或类似，只不过规模变小了。子问题都解决，原问题即解决(数字三角形例）。
子问题的解一旦求出就会被保存，所以每个子问题只需求 解一次。
确定状态
在用动态规划解题时，我们往往将和子问题相关的各个变量的一组取值，称之为一个“状 态”。一个“状态”对应于一个或多个子问题， 所谓某个“状态”下的“值”，就是这个“状 态”所对应的子问题的解。
所有“状态”的集合，构成问题的“状态空间”。“状态空间”的大小，与用动态规划解决问题的时间复杂度直接相关。 在数字三角形的例子里，一共有N×(N+1)/2个数字，所以这个问题的状态空间里一共就有N×(N+1)/2个状态。
整个问题的时间复杂度是状态数目乘以计算每个状态所需时间。在数字三角形里每个“状态”只需要经过一次，且在每个状态上作计算所花的时间都是和N无关的常数。
确定一些初始状态（边界状态）的值
以“数字三角形”为例，初始状态就是底边数字，值就是底边数字值。
确定状态转移方程
定义出什么是“状态”，以及在该“状态”下的“值”后，就要找出不同的状态之间如何迁移――即如何从一个或多个“值”已知的 “状态”，求出另一个“状态”的“值”(递推型)。状态的迁移可以用递推公式表示，此递推公式也可被称作“状态转移方程”。
能用动规解决的问题的特点
1) 问题具有最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的 子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结 构性质。
2) 无后效性。当前的若干个状态值一旦确定，则此后过程的演变就只和这若干个状态的值有关，和之前是采取哪种手段或经过哪条路径演变到当前的这若干个状态，没有关系。
DP And DFS 实现
import java.util.Scanner;
public class Dp {
static int[][] map = new int[101][101];
static int[][] dp = new int[101][101];
static int max = 0, n, m;
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
m = scanner.nextInt();
// input
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
dp[i][j] = map[i][j] = scanner.nextInt();
// dp
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + map[i][j];
// print result
System.out.println(dp[n][m]);
dfs(1, 1, 0);
System.out.println(max);
scanner.close();
}
static void dfs(int x, int y, int value) {
if (x > n || y > m)
return;
value += map[x][y];
if (x == n && y == m) {
if (max < value)
max = value;
}
dfs(x + 1, y, value);
dfs(x, y + 1, value);
}}